Формула простых и сложных процентов

К банковским депозитам и кредитам все давно привыкли, но далеко не каждый задумывается о том, как применяется декларируемая банком процентная ставка в том или ином случае. Расчет процентов может вестись разными способами, существуют простые и сложные формулы; и стоит уделить этому внимание для понимания выгодности банковского предложения по займам или депозитам.

Содержание

Простые и сложные проценты

О том, насколько выгоден тот или иной банковский вклад, судят не только по процентной ставке, но и по способу начисления процентов. В банковской практике используются простые и сложные проценты.

С простыми процентами все более или менее понятно: проценты начисляются один раз в конце срока вклада.

В банковских договорах процентная ставка указывается за год. Для других периодов (например, месяца) нужно перевести срок вклада в дни использовать для расчета простых процентов следующую формулу:

Fv = Sv * ( 1 + R * (Td / Ty) ), где

Fv — итоговая сумма;
Sv — начальная сумма;
R — годовая процентная ставка;
Td — срок вклада в днях;
Ty — количество дней в году.

Сложные проценты — это такой вариант, при котором происходит капитализация процентов, т.е. их причисление к сумме вклада и последующий расчет дохода не от первоначальной, а от накопленной суммы вклада. Использование сложных процентов аналогично ситуации, при которой вкладчик по окончании определенного периода снимает со счета все средства (вклад плюс накопленные проценты), а затем делает новый вклад на всю полученную сумму.

Чуть подробнее о периодах. Дело в том, что капитализация происходит не постоянно, а с некоторой периодичностью. Как правило, такие периоды равны и чаще всего банки используют месяц, квартал или год.

В итоге, для расчета сложных процентов используется следующая формула:

Fv = Sv * ( 1 + (R / Ny) )Nd, где

Fv — итоговая сумма;
Sv — начальная сумма;
R — годовая процентная ставка;
Ny — количество периодов капитализации в году;
Nd — количество периодов капитализации за весь период вклада.

Для наглядности рассмотрим вклад в 10 000 рублей под 12 процентов годовых сроком на 1 год, но будет происходить ежемесячная капитализация процентов.
Общая сумма: 10 000 * (1 + 0,12 / 12)12 = 11 268,25 руб.
Итоговый доход: 11 268,25 — 10 000 = 1 268,25 руб.
При вкладе с простыми процентами эта сумма (то есть прибыль вкладчика) составляет лишь 1 120 руб.

Необходимо отметить, что в договоре банковского вклада формулировки «простые проценты» или «сложные проценты» не используются. В этом документе отмечается, когда происходит начисление процентов. Для банковского вклада с простыми процентами используется формулировка «проценты начисляются в конце срока». Если же используется капитализация процентов, указывается, что начисление процентов происходит ежедневно, ежемесячно, ежеквартально или ежегодно.

Какие вклады выгоднее?

Из самой сущности сложных процентов следует, что чем чаще происходит их начисление (при равной процентной ставке), тем более выгодным будет вклад. Воспользуемся приведенной ранее формулой расчета сложных процентов чтобы убедиться в этом. Исходные данные – те же: сумма 10 000 руб., ставка – 12 процентов годовых.
При ежегодном начислении: 10 000 * (1 + 0,12)1 = 11 200 руб.
В данном случае сумма совпадет с суммой, полученной при расчете простых процентов, что вполне закономерно.
При ежеквартальном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 4)4 = 11 255,09 руб.
При ежемесячном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 12)12 = 11 268,25 руб.
При ежедневном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 365)365 = 11 274,75 руб.
Итак, при равной процентной ставке вклад с капитализацией процентов, несомненно, более выгоден.

Но нередко складываются ситуации, когда нужно решить, что предпочесть: вклады с простыми процентами и более высокой процентной ставкой и вклады с капитализацией и меньшей процентной ставкой. Здесь тот факт, что процент тоже приносят прибыль, оказывается более выгодным лишь до определенного предела. Поэтому торопиться не стоит. Нужно внимательно изучить условия каждого из предлагаемых вкладов и произвести соответствующие вычисления.

Допустим, клиент выбирает между двумя вариантами вложения денег на срок 1 год: вклад с простыми процентами и ставкой в 12 процентов годовых и вклад со сложными процентами (ежеквартальное начисление) и ставкой в 10 процентов годовых. Прибыль в первом случае уже рассчитана и составляет 1120 руб. Прибыль для второго случая:
10 000 * (1 + 0,1 / 4)4 – 10 000 = 1 038 руб.

Таким образом, в этом случае вклад с простыми процентами и более высокой процентной ставкой оказывается предпочтительней.

Источник: http://www.depcalc.ru/

Сложный процент. Формула сложного процента для вклада. Расчет сложных процентов

Формула сложного процента здесь

Сложным процентом принято называть эффект, когда проценты прибыли прибавляются к основной сумме и в дальнейшем сами участвуют в создании новой прибыли.
Формула сложного процента — это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом капитализации (начислении процентов).

Простой расчет сложных процентов

Чтобы лучше усвоить расчет сложных процентов, давайте разберём пример.
Представим, что вы положили 10 000 руб в банк под 10 процентов годовых.
Через год на вашем банковском счету будет лежать сумма SUM = 10000 + 10000*10% = 11 000 руб.
Ваша прибыль — 1000 рублей.
Вы решили оставить 11 000 руб на второй год в банке под те же 10 процентов.
Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб.

Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.
Этот эффект и получил название сложный процент.

Когда вся прибыль прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль.

Формула сложного процента:

SUM = X * (1 + %)n

где
SUM — конечная сумма;
X — начальная сумма;
% — процентная ставка, процентов годовых /100;
n — количество периодов, лет (месяцев, кварталов).

Расчет сложных процентов: Пример 1.
Вы положили 50 000 руб в банк под 10% годовых на 5 лет. Какая сумма будет у вас через 5 лет? Рассчитаем по формуле сложного процента:

SUM = 50000 * (1 + 10/100)5 = 80 525, 5 руб.

Сложный процент может использоваться, когда вы открываете срочный вклад в банке. По условиям банковского договора процент может начисляться например ежеквартально, либо ежемесячно.

Расчет сложных процентов: Пример 2.
Рассчитаем, какая будет конечная сумма, если вы положили 10 000 руб на 12 месяцев под 10% годовых с ежемесячным начислением процентов.

SUM = 10000 * (1+10/100/12)12 = 11047,13 руб.

Прибыль составила:

ПРИБЫЛЬ = 11047,13 — 10000 = 1047,13 руб

Доходность составила (в процентах годовых):

% = 1047,13 / 10000 = 10,47 %

То есть при ежемесячном начислении процентов доходность оказывается больше, чем при начислении процентов один раз за весь период.

Если вы не снимаете прибыль, тогда начинает работать сложный процент.

Формула сложного процента для банковских вкладов

На самом деле формула сложного процента применительно к банковским вкладам несколько сложнее, чем описана выше. Процентная ставка для вклада (%) рассчитывается так:

% = p * d / y

где
p — процентная ставка (процентов годовых / 100) по вкладу,
например, если ставка 10,5%, то p = 10,5 / 100 = 0,105;
d — период (количество дней), по итогам которого происходит капитализация (начисляются проценты),
например, если капитализация ежемесячная, то d = 30 дней
если капитализация раз в 3 месяца, то d = 90 дней;
y — количество дней в календарном году (365 или 366).

То есть можно рассчитывать процентную ставку для различных периодов вклада.

Формула сложного процента для банковских вкладов выглядит так:

SUM = X * (1 + p*d/y)n

При расчете сложных процентов нужно принимать во внимание тот факт, что со временем наращивание денег превращается в лавину. В этом привлекательность сложных процентов. Представьте себе маленький снежный комок размером с кулак, который начал катиться со снежной горы. Пока комок катится, снег налипает на него со всех сторон и к подножию прилетит огромный снежный камень. Также и со сложным процентом. Поначалу прибавка, создаваемая сложным процентом, почти незаметна. Но через какое-то время она показывает себя во всей красе. Наглядно это можно увидеть на примере ниже.

Расчет сложных процентов: Пример 3.
Рассмотрим 2 варианта:
1. Простой процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Всю прибыль вы снимаете.
2. Сложный процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Каждый год проценты прибыли прибавляются к основной сумме.

Начальная сумма: 50 000 рублей

Процентная ставка: 20% годовых

Простой процент Сложный процент
Сумма Прибыль
за год
Сумма Прибыль
за год
Через 1 год 60 000р. 10 000р. 60 000р. 10 000р.
Через 2 года 70 000р. 10 000р. 72 000р. 12 000р.
Через 3 года 80 000р. 10 000р. 86 400р. 14 400р.
Через 4 года 90 000р. 10 000р. 103 680р. 17 280р.
Через 5 лет 100 000р. 10 000р. 124 416р. 20 736р.
Через 6 лет 110 000р. 10 000р. 149 299р. 24 883р.
Через 7 лет 120 000р. 10 000р. 179 159р. 29 860р.
Через 8 лет 130 000р. 10 000р. 214 991р. 35 832р.
Через 9 лет 140 000р. 10 000р. 257 989р. 42 998р.
Через 10 лет 150 000р. 10 000р. 309 587р. 51 598р.
Через 11 лет 160 000р. 10 000р. 371 504р. 61 917р.
Через 12 лет 170 000р. 10 000р. 445 805р. 74 301р.
Через 13 лет 180 000р. 10 000р. 534 966р. 89 161р.
Через 14 лет 190 000р. 10 000р. 641 959р. 106 993р.
Через 15 лет 200 000р. 10 000р. 770 351р. 128 392р.
Суммарная прибыль: 150 000р. 720 351р.

Комментарии, как говорится, излишни. Вложения с использованием сложного процента НА ПОРЯДОК выгоднее, чем с простым процентом. Чем больше проценты прибыли, чем дольше срок инвестирования, тем ярче проявляет себя сложный процент.

В случае простого процента график увеличения капитала получается линейный, поскольку вы снимаете прибыль и не даёте ей работать и приносить новую прибыль. В случае сложного процента график получается экспоненциальным, с течением времени кривая увеличения капитала становится всё круче, всё больше стремится вверх. Это происходит оттого, что из года в год прибыль накапливается и создаёт новую прибыль.

Как видите, на длительном промежутке времени очень важным становится то, под какой процент вы инвестируете деньги.
Через 15 лет при 10% годовых 50 тысяч рублей превратятся в 200 тысяч, при 15% — уже в 400 тысяч, а при 20% годовых — в 780 тысяч.

Таким образом, сложный процент является мощным орудием по увеличению капитала на длительных промежутках времени.

* * *

Из формулы расчёта сложного процента можно выразить процентную ставку и количество лет (месяцев).

Процентная ставка:

% = (SUM / X)1/n — 1

Расчет сложных процентов: Пример 4.
Какая процентная ставка должна быть, чтобы за 10 лет 50 000 рублей превратились в 100 000 рублей?

% = (100000 / 50000)1/10 — 1 = 0,0718 = 7,18 % годовых

Количество периодов (месяцев, лет):

n = log(1+%) (SUM / X)

Расчет сложных процентов: Пример 5.
Сколько потребуется лет, чтобы 50 000 руб. нарастились до 1 000 000 руб. при процентной ставке 40% ?

n = log(1+0,4) (1000000 / 50000) = 8,9 лет

Источник: http://damoney.ru/

Простые и сложные проценты. Чем отличаются?

Рассмотрим пример размещения 100 руб. на банковском депозите под 10% сроком на один год. Текущая стоимость PV составляет 100 руб.

Через год инвестор на вложенный вклад получит 10%, или 10 руб. Сумма денежных средств через год равна сумме вклада плюс накопленные проценты (100 + 10 = 110 руб.). Следовательно, будущая стоимость сегодняшних 100 руб. равна 110 руб.

Будущую стоимость (future value, FV) можно определить но формуле

где PV — текущая стоимость; г — рыночная процентная ставка. В нашем примере будущая стоимость

FV=PV(i + /) = 100 (1 + 0,1) = 110руб.

Если через год инвестор из банка не забирает ни проценты, пи сумму первоначального взноса, а размещает эти средства на депозите сроком еще на один год, то будущая стоимость размещенных средств составит

РУ= 110 (1 + 0,1) = 100 (1+ 0,1) (1 + 0,1) = 100 (1 + 0,1)2= 121 руб.

В общем виде будущую стоимость текущих денежных средств можно представить как

где г — годовая процентная ставка; (1 + г) — коэффициент наращения; п — число лет наращения.

В рассмотренном примере условиями размещения денежных средств предусмотрено, что инвестор вкладывает средства на несколько лет под определенный процент. При этом сумма накопленных процентов не изымается, а остается па счете инвестора, и на нес начисляются проценты.

Однако условия вклада могут быть и иные. Инвестор каждый год забирает накопленные проценты, а проценты за следующий год начисляются только на первоначальную сумму. В зависимости от способа начисления процентов на вложенный капитал различают простые и сложные проценты.

Простые проценты

По отдельным видам финансовых вложений доход начисляется по методу простых процентов. К таким формам инвестиций относятся депозитные сертификаты и облигации, по которым проценты начисляются на номинальную стоимость данных финансовых инструментов. Например, если инвестор приобрел облигацию номинальной стоимостью 1000 руб. со сроком погашения через 1,5 года под 10% годовых, то по окончании срока его доход составит 1000-0,1 х 1,5 = 150 руб.

Таким образом, если годовая ставка составляет 10%, то при методе простых процентов доход инвестора через год составит 10%: через 1,5 года — 15; через 2 года — 20; через 3 года — 30% и т.д.

При начислении простых процентов будущая стоимость определяется по формуле

Рассмотрим пример, когда на вложенные инвестиции доход начисляется по методу простых процентов. Вкладчик размещает 1 млн руб. на депозите сроком на пять лет под 10% годовых. После завершения срока сумма средств, которыми будет располагать инвестор, составит 1(1+ 0,1-5) = 1,5 млн руб., из которых

1 млн руб.— это сумма первоначального взноса и 500 000 руб. представляют накопленные проценты.

Сложные проценты

При проведении финансовых вычислений в большинстве случаев пользуются не простыми, а сложными процентами, начисляемыми не только на первоначальную сумму, но и на сумму процентов, накопившихся за истекший период. В этом случае процентный доход не изымается, а остается на счете и прибавляется к величине первоначального взноса.

В основе метода сложных процентов лежит та же методика начисления ежегодных простых процентов, которые начисляются на первоначальный вклад и накопленную сумму. Будущую стоимость по методу сложных процентов рассчитывают по формуле

Рассмотрим, как изменится сумма вклада в рассмотренном выше примере, если при начислении использовать метод сложных процентов. При размещении на банковском депозите суммы в размере 1 млн руб. сроком на пять лет под 10% годовых конечная сумма при исчислении методом сложных процентов составит

FV= 1 000 000 (1 + 0,1)5= 1 610 510 руб.

Полученная сумма на 110 510 руб. больше, чем сумма, полученная при начислении простых процентов.

Метод сложных процентов всегда интриговал людей. Джон Кейнс назвал этот процесс магией сложных процентов. Действительно, на длительных отрезках времени первоначальные суммы, вложенные под сложный процент, увеличиваются очень существенно. Это хорошо очевидно из табл. 4.1, в которой приведены данные по приросту инвестиций в размере 100 долл. при простом и сложном проценте на 200-летнем отрезке времени.

ИНТЕРЕСНЫЕ ФАКТЫ

1. Английский астроном Френсис Бейли в 1810 г. подсчитал, что если в год рождения Христа положить 1 пенс под 5% годовых, то за эти годы он превратился бы в такое количество золота, которого хватило бы для заполнения 357 млн земных шаров.

2. Остров Манхэттен (США) был приобретен в 1626 г. Питером Минуитом у местных индейцев за сумму, равную примерно 25 долл. США. В настоящее время совокупная стоимость острова исчисляется миллиардами долларов. Однако если бы Питер вложил свои 25 долл. в банк под 7% годовых, то в настоящее время он бы получил 3,6 трлн долл. США, что существенно больше нынешней стоимости острова со всеми сооружениями на нем. Вот к чему приводит принятие однажды неправильного решения.

Таблица 4.1. Стоимость инвестиций в размере 100 долл. на конец года при 10% ставке

Год

Простой процент

Сложный процент

1

110

110

2

120

121

3

130

133

4

140

146

10

200

259

50

600

11 739

100

1100

1 378 061

200

2100

18 990 527 622

 

Таблица показывает, что в первый год разница в доходе между простым и сложным процентом равна нулю. Затем эта разница начинает незначительно возрастать. Она весьма велика для 50-летнего и громадна для 200-летнего периода.

Для удобства расчета будущей стоимости применяют специальные таблицы, показывающие будущую стоимость денежной единицы через п лет при соответствующей годовой процентной ставке (приложение 1). Фрагмент этой таблицы представлен ниже (табл. 4.2)

Таблица 4.2. Будущая стоимость денежной единицы

Год

Годовая процентная ставка

1

2

5

6

10

1.1

1

1.010

1,020

1.0.10

1.000

1.100

1,150

2

1,020

1,040

1.102

1.121

1,210

1,323

3

1,030

1,061

1,158

1,191

1,331

1.521

4

1.041

1,082

1,216

1,262

1,464

1,749

5

1,051

1,104

1,276

1,338

1,611

2,011

10

1,105

1,219

1,629

1,791

2,594

4,046

15

1,161

1,346

2,079

2,397

4,177

8.137

20

1.220

1,186

2.653

3,207

6,727

16,37

Пользуясь табл. 4.2, определим, сколько денежных средств будет на счете инвестора, положившего 1000 руб. на банковский депозит под 10% сроком на 15 лет. Мы движемся по столбцу «годы» до строки 15 лет, а затем перемещаемся по этой строке вправо до столбца 10%. На пересечении строки и столбца показано, во что превратится 1 руб. через 15 лет, положенный на депозит под 10% годовых. Эта цифра равна 4,177. Следовательно, для нашего примера будущая стоимость вклада

РУ= 1000-4,177 = 4177 руб.

При простом проценте увеличение стоимости идет равномерно. Первоначальная сумма инвестиций каждый год увеличивается на одинаковую величину, что иллюстрирует прямая линия. При сложном проценте наблюдается ускоренный рост накоплений. Кривая роста тем круче, чем выше ставка процента и длиннее срок инвестирования.

ИНТЕРЕСНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ.

Правило 72 (удвоение сбережений)

Инвестор приобрел пакет акций компании «Уралкалий» за 10 млн руб., а через четыре года продал его за 20 млн руб., увеличив свой капитал в два раза. Интересно узнать, какую среднегодовую доходность он получил от своих инвестиций, рассчитанную по методу сложных процентов?

«Правило 72» позволяет нам быстро без помощи калькулятора определить доходность этих инвестиций. «Правило 72» гласит: если число 72 разделить на число лет, за которое было достигнуто удвоение инвестиций, то получим процентную ставку, показывающую среднегодовую доходность наших инвестиций. В рассматриваемом примере

Доходность = 72/Число лет = 72/4 = 18%.

Если известна процентная ставка, под которую можно разместить денежные средства на финансовом рынке, то, пользуясь «правилом 72», легко определить, сколько лет должно пройти, чтобы инвестиции удвоились. Например, банк предлагает депозит под 7% годовых. Чтобы рассчитать период удвоения, необходимо 72 поделить на процентную ставку, что в нашем примере составит

Число лет = 72/7 = 10,3 года.

Следует отметить, что «правило 72» дает приближенное значение числа лет и процентов, необходимых для удвоения инвестиций. Например, для удвоения вложений за четыре года необходима годовая доходность в размере 19%, а не 18%, как получилось при использовании «правила 72». Для того чтобы вложения, размещенные под 7% годовых, удвоились, необходимо 10,2 года, а по «правилу 72» получилось 10,3 года. Как видите, разница несущественна, и этот подход вполне может применяться для приблизительной оценки инвестиционных решений.

Источник: https://studme.org/

Процентная ставка

Финансовая математика — предмет изучения

Предметом изучения курса финансовой математики является выбор условий финансовой сделки между субъектами финансового рынка и расчет параметров этой сделки.

Курс финансовой математики состоит из двух разделов: разовые платежи и потоки платежей. Разовые платежи — это финансовые сделки, при которых каждая сторона, при реализации условий контракта выплачивает сумму денег только один раз (либо дает в долг, либо отдает долг). Потоки платежей — это финансовые сделки, при которых каждая сторона при реализации условий контракта производит не менее одного платежа.

В финансовой сделке участвуют две стороны — кредитор и заемщик. Каждой стороной может быть как банк, так и клиент. Основная финансовая сделка — предоставление некоторой суммы денег в долг. Деньги не равносильны относительно времени. Современные деньги, как правило, ценнее будущих. Ценность денег во времени отражается в величине начисляемых процентных денег и схеме их начисления и выплаты.

Математическим аппаратом для решения таких задач является понятие «процентов» и арифметической и геометрической прогрессии.

Проценты — основные понятия

Процент — одна сотая от заранее оговоренной базы (то есть база соответствует 100%).
Примеры:

— 2 составляет 4% от 50; (база 50)
— 80 меньше 100 на 20%; (база 80)
— 100 больше 80 на 25% (база 80)
— Новая цена товара в 6 раз больше первоначально. На сколько % увеличилась цена товара? Ответ: на 500%.
— Цена товара возрасла на 1000%. Во сколько раз увеличилась цена товара? Ответ: в 11 раз.
В течение торговой сессии курс акций компании повысился на , а курс акций компании снизился на 5%, в результате чего эти два курса сравнялись. на сколько процентов курс акций компании был выше курса акций компании до начала сессии?

, , ответ: больше на

первоначальная сумма долга
(дни) фиксированный промежуток времени, к которому приурочена процентная (учетная) ставка (как правило, один год — 365, иногда 360 дней)
процентная (учетная) ставка за период
срок долга в днях
срок долга в долях от периода
сумма долга в конце срока

Процентная ставка. Дисконтирование

Процентная ставка — относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени. Отношение дохода (процентных денег — абсолютная величина дохода от представления денег в долг) к сумме долга.

Период начисления — это временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, его не следует путать со сроком начиления. Обычно в качестве такого периода принимаю год, полугодие, квартал, месяц, но чаще всего дело имеют с годовыми ставками.

Капитализация процентов — присоединение процентов к основной сумме долга.

Наращение — процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов.

Дисконтирование — обратно наращению, при котором сумма денег, относящаяся к будущему уменьшается на величину соответствующую дисконту (скидке).

Величина называется множителем наращения, а величина — множителем дисконтирования при соответствующих схемах.

Интерпретация процентной ставки

При схеме «простых процентов» исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения процентной ставки является первоначальная сумма долга .

При схеме «сложных процентов» (для целых ) исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения процентной ставки является наращенная за предыдущий период сумма долга.

Присоединение начисленных процентных денег к сумме, которая служит базой для их вычисления, называется капитализацией процентов (или реинвестированием вклада). При применении схемы «сложных процентов» капитализация процентов происходит на каждом периоде .

Интерпретация учетной ставки

При схеме «простых процентов» (простой дисконт) — исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения учетной ставки является сумма , подлежащая выплате в конце срока вклада.

При схеме «сложных процентов» (для целых ) (сложный дисконт) — исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения учетной ставки является сумма долга в конце каждого периода.

Простая и сложная процентные ставки. Где используются?

«Прямые» формулы

Простые проценты Сложные проценты
— процентная ставка наращение
— процентная ставка дисконтирование (банковский учет)

«Обратные» формулы

Простые проценты Сложные проценты
— процентная ставка дисконтирование (математический учет)
— процентная ставка наращение

Переменная процентная ставка и реинвестирование вкладов

Пусть срок долга имеет этапов, длина которых равна , ,

— при схеме простых процентов

— при схеме простых процентов

Примеры:

1. В контракте предусмотрено начисление а) простого, б) сложного процента в таком порядке: в первом полугодии по годовой процентной ставке 0,09, потом в следующем году ставка уменьшилась на 0,01, а в следующих двух полугодиях увеличилась на 0,005 в каждом из них. Найти величину наращенного вклада в конце срока, если величина первоначального вклада равна $800.

,

,

,

,

а)

б)

Рыночная процентная ставка как важнейший макроэкономический показатель

Важным макроэкономическим показателем выступает процентная ставка. Процентная ставка — это плата за деньги, предоставляемые в кредит. Были времена, когда законом не допускалось вознаграждение за то, что неизрасходованные, заемные деньги давали в заем. В современном мире широко пользуются кредитами, за пользование которыми устанавливается процент. Поскольку процентные ставки измеряют издержки использования денежных средств предпринимателями и вознаграждение за неиспользование денег потребительским сектором, то уровень процентных ставок играет значительную роль в экономике страны в целом.

Очень часто в экономической литературе пользуются термином «процентная ставка», хотя существует множество процентных ставок. Дифференциация процентных ставок связана с риском, на который идет заимодатель. Риск возрастает с увеличением срока кредита, так как становится выше вероятность того, что деньги могут потребоваться кредитору раньше установленной даты возврата ссуды, соответственно повышается процентная ставка. Она увеличивается, когда за кредитом обращается малоизвестный предприниматель. Мелкая фирма уплачивает более высокую процентную ставку, чем крупная. Для потребителей процентные ставки также варьируются.

Однако как бы ни отличались ставки процента, все они находятся под воздействием рыночного механизма: если предложение денег уменьшается, то процентные ставки увеличиваются, и наоборот. Именно поэтому рассмотрение всех процентных ставок можно свести к изучению закономерностей одной процентной ставки и в дальнейшем оперировать термином «процентная ставка»

Различают номинальные и реальные процентные ставки

Реальная процентная ставка определяется с учетом уровня инфляции. Она равна номинальной процентной ставке, которая устанавливается под воздействием спроса и предложения, за вычетом уровня инфляции:

= i — %ΔP

  • — реальная процентная ставка;
  • — номинальная процентная ставка;
  • — общий уровень цен.

Если, например, банк предоставляет кредит и взимает при этом 15%, а уровень инфляции составляет 10%, то реальная процентная ставка равна 5% (15% — 10%).

Способы начисления процентов:

Декурсивный способ проценты начисляются в конце каждого интервала начисления ссудный процент
Антисипативный способ проценты начисляются в начале каждого интервала начисления учетная ставка
  • — проценты за весь срок ссуды
  • — первоначальная сумма долга
  • — наращенная сумма, то есть сумма в конце срока
  • — ставка наращения процентов
  • — срок ссуды
Простая процентная ставка Сложная процетная ставка
Начисленные за весь срок проценты:
Наращенная сумма

Простая процентная ставка

График роста по простым процентам

Пример

Определить проценты и сумму накопленного долга если ставка по простым процентам 20% годовых , ссуда равна 700 000 руб., срок 4 года.

  • I = 700 000 * 4 * 0,2 = 560 000 руб.
  • S = 700 000 + 560 000 = 1 260 000 руб.

Ситуация, когда срок ссуды меньше периода начисления

  • — число дней ссуды
  • — временная база начисления процентов (time basis)

Временная база может быть равна:

  • 360 дней. В в этом случае получают обыкновенные или коммерческие проценты.
  • 365 или 366 дней. Используется для расчета точных процентов.

Число дней ссуды

  • Точное число дней ссуды — определяется путем подсчета числа дней между датой ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день. Точное число дней между двумя датами можно определить по таблице порядковых номеров дней в году.
  • Приближенное число дней ссуды — определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается равным 30 дням.

На практике применяются три варианта расчета простых процентов:

  • Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
  • Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (банковский; 365/360). При числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой.
  • Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360). Применяется в промежуточных рассчетах, так как не сильно точный.

Пример

Ссуда в размере 1 млн.рублей выдана 20 января до 5 октября включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? Рассчитать в трех вариантах подсчета простых процентов.

Для начала определим число дней ссуды: 20 января это 20 день в году, 5 октября — 278 день в году. 278 — 20 = 258. При приближенном подсчете — 255. 30 января — 20 января = 10. 8 месяц умножить на 30 дней = 240. итого: 240 + 10 + 5 = 255.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)

  • S = 1 000 000 * (1 + (258/365)*0.18) = 1 127 233 руб.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365)

  • S = 1 000 000 * (1 + (258/360)*0.18 = 1 129 000 руб.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360)

  • S = 1 000 000 (1 + (255/360)*0.18 = 1 127 500 руб.

Переменные ставки

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом:

Источник: http://www.grandars.ru/

Простые и сложные ставки ссудных процентов

Простые ставки ссудных (декурсивных) процентов применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления (и составляет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Естественно, простые ставки ссудных процентов могут применяться и в любых других случаях по догоиоренности участвующих в операции сторон.

Введем следующие обозначения:
\ (%) — простая годовая ставка ссудного процента;
/-относительная величина годовой ставки процентов;,
Iсумма процентных денег, выплачиваемых за год;
1 — общая сумма процентных денег за весь период начисления;
р — величина первоначальной денежной суммы;
5наращенная сумма;
Ки — коэффициент наращения;
п — продолжительность периода начисления в годах;
д — продолжительность периода начисления в днях;
К — продолжительность года в днях.
Величина К является временной базой для расчета процентов.

В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции рассчитывается либо точный, либо обыкновенный (коммерческий) процент.
Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день. При этом возможны два варианта:

1) используется точное число дней ссуды, определяемое
по специальной таблице, где показаны порядковые но-
мера каждого дня года; из номера, соответствующего
дню окончания займа, вычитают номер первого дня;

2) беретЬя приблизительное число дней ссуды, когда про-
должительность полного месяца принимается равной
30 дням; этот метод используется, когда не требуется
большая точность, например, при частичном погаше-
нии займа.

Точный процент получают в случае, когда за временную
базу берут фактическое число дней в году (365 или 366) н точ-
ное число дней ссуды.

Определение современной величины Р наращенной сум-
мы 51 называется дисконтированием, а определение величи-
ны наращенной суммы 5 — компаудироваиием
5 = Р(1 +/•«) — компаудировамие по простой ссудной
^ ставке;
Р — дисконтирование по простой ссудной
(1 + / * п) ставке.
Если продолжительность ссуды менее одного года,можно
использовать следующие формулы:
8, „.V
S = P^^І¦-);-P= 5 •
К ([ + /.-)
к,.

Преобразуя формулы (т.е. заменяя входящие в них вы-
ражения на эквивалентные и выражая одни величины через
другие), получаем еще несколько формул для определения
неизвестных величин в различных случаях:
8-Р. Б-Р. Я-Р „
и =.;5=к ¦! = —:( = К.
Р-1 Р-1 Рп Р-8

Иногда на разных интервалах начисления применяются
разные процентные ставки. Если на последовательных интер-
валах начисления !г ^ используются ставки процентов ^

КОРПОРАТИВНЫЕ ФИНАНСЫ

/, i2,…/N, то доход кредитора в конце интервала составит:
/1 = Р-п1 •/,,
в конце второго интервала: /2, и т.д.
При тУ интервалах начисленная наращенная сумма соста-

Если после очередного интервала начисления доход (т.е. начисленные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространен-ным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок.
Если срок ссуды п в годах не является целым числом, множитель наращения определяют по выражению:
Кн — (l + /)'» • (І + / ¦ nh ), тогда S = Р ¦ (l + /)’“ ¦(] + /¦ nh ),
где n=-na + nb;
па — целое число лет;
ni — оставшаяся дробная часть года.
Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов у — годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемой на каждом интервале начисления.
При т равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j/m.
Если срок ссуды составляет п лет, то получаем выражение для определения наращенной суммы:
вит
S
Здесь пт — об шее число интервалов начисления за весь срок ссуды.
Если общее число интервалов начисления не является целым числом (пт — целое число интервалов начисления, /-часть интервала начисления), то выражение принимает вид:
Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов, а для оставшейся части — формула простых процентов.
В Казахстане в настоящее время наиболее распространенным является начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное (иногда интервалом начисления может являться и день). Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью, называются дискретными.
Пример I.
Ссуда в размере 5 млн тенге выдана на полгода по простой ставке ссудных процентов 20% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение;
8~5 (1 + 0,5 ¦ 0,2) = 5,5 (млнтенге).
Пример 2.

Кредит в размере 10 млн тенге выдан 2 марта до 11 декабря под 18% годовых, год високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов (обыкновенного и точного) расчета процентов.
Решение:
1) В случае точных процентов берем 5 = 284:
10 (11 284/366 • 0,18) = 11,4 (млнтенге);
2) для обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды:
.9= 10(1 + 284/360 ¦ 0,18) = 11,42 (млн тенге);
КОРПОРАТИВНЫЕ ФИНАНСЫ
3) для обыкновенных процентов с приближенным числом
дней ссуды (8 = 280):
5″ = 10 (] +280/360 • 0,18) = 11,94 (млн тенге).

Пример 3.
Кредит в размере 20 млн тенге выдается на 3,5 года. Став-
ка процентов за первый год — 15%, а за каждое последующее
полугодие она увеличивается на 1 %. Определить множитель
наращения и наращенную сумму.
Решение:
Кн — 1 + 0,15 + 0,5 (0,16 + 0,17 + 0,18 + 0,19 + 0,2) = 1,6.
5 = 20 ¦ 1,6 — 32 млн тенге.

Пример 4.

Определить период начисления, за который первона-
чальный капитал в размере 20 млн тенге вырастет до 65 млн
тенге, если используется простая ставка процентов 20% го-
довых.
Решение:
У1 ~ (65 — 20)/(20 ¦ 0,2) = 11,25 года.

Пример 5.
Определить простую ставку процентов, при которой пер-
воначальный капитал в размере 24 млн тенге достигнет 26
млн тенге через 100 дней. К= 365.
Решение:.5
(= (26 — 24)'(24 * 100) ¦ 365 = 0,31, или 31%..

Пример 6,
Кредит выдается под простую ставку 18% годовых на
250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком и сумму
| процентных денег, если величина кредита составляет 40 млн
тенге. Год не високосный. ¦
Решение:
I Р ~ 40 / (1 + 250/365 0,18) = 35,62 (млн тенге).
о| 1 = 40 — 35,62 = 4,38 (млн тенге).

Пример 7.
Первоначальная вложенная сумма равна 200 тыс. тенге.
Определить наращенную сумму через пять лет при исполь-
зовании простой и сложной ставок ссудных процентов в раз-
мере 12% годовых. Решить этот пример также для случаев,
когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально.
Решение:
По формуле для простых процентных ставок имеем:
5 = 200 (I + 5-0,12) = 320 (тыс. тенге).
По формуле для сложных процентов: • • ¦
5 = 200 (1 4 0,12)5 = 200-1,76 = 352,5 (тыс. тенге). 1
По формуле для начисления по полугодиям:
5200 (1 +0,06)’° = 200 • 1,79 = 358 (тыс. тенге).
Из той же формулы для поквартального начисления:
5 = 200 (1 + 0,03)’°-200* 1,806 = 361,2 (тыс. тенге).

Пример 8.
Первоначальная сумма долга равна 300 тыс. тенге. Опре-
делить наращенную сумму через 2,5 года начисления слож-
ных процентов по ставке 20,0% годовых.
Решение:
? = 300 (I Ь 0,2)2′ (1 + 0,5 • 0,2) — 475,2 (тыс. тенге)

Пример 9.
Определим современную (текущую, настоящую, приве-
денную) величину суммы 500 тыс. тенге, выплачиваемой че-
рез три года, при использовании ставки сложных процентов
20% годовых.
Решение:
Р — = 289.35(тыс. тенге). •
(1 ( 0.2)’

Источник: http://finbook.news/

Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного интервала начисления доход не выплачивается, а капитализируется, то для определения наращенной суммы применяются формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты достаточно широко применяются на практике.

Чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.

Формула для расчета сложных процентов имеет вид

где FV – капитализированная сумма; PV – величина первоначальной денежной суммы; п – продолжительность периода начисления в годах; i – ставка сложных ссудных процентов; п – количество лет.

Если срок ссуды нс является целым числом, то формула для расчета наращенной суммы имеет вид

где пa – целое число лет; пb – оставшаяся дробная часть года.

В случае если уровень сложных процентных ставок различается на разных интервалах начисления, то в конце всего периода начисления наращенная сумма будет определяться следующим образом:

где п1, п2 , …, nN – продолжительность интервалов начисления в годах; i1, i2 , …, iN – годовые ставки процентов, соответствующие данным интервалам; N – количество интервалов начисления сложных процентов.

Начисление сложных процентов может осуществляться несколько раз в году, в этом случае оговаривается номинальная ставка процентов (j), т.е. годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При т равных интерватах начисления и номинальной процентной ставке j величина номинальной процентной ставки, применяемой на каждом интервале начисления, определяется как j/m.

Если срок ссуды составляет п лет, то наращенная сумма будет определяться следующим образом:

где j – номинальная ставка сложных ссудных процентов; тп – общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то наращенная сумма будет определяться следующим образом:

где l – часть интервала начисления.

Сложные учетные ставки

При антисипативном способе начисления сложных процентов (проценты начисляются в начале каждого интервала), формула наращенной суммы имеет вид

где FV – будущая стоимость денег (сумма, которая должна быть возвращена); PV – сумма, получаемая заемщиком; d – величина сложной учетной ставки; п – количество лет.

Для периода начисления, не являющегося целым числом, наращенная сумма будет определяться следующим образом:

где па – целое число лет; пb – оставшаяся дробная часть года.

При учетной ставке, изменяющейся в течение срока ссуды, наращенная сумма определяется по формуле

где п1, п2, …, nN – продолжительность интервалов начисления в годах; d1, d2,…, dN – годовые учетные ставки, соответствующие данным интервалам; N – количество интервалов начисления сложных процентов.

Если проценты начисляются т раз в году, наращенная сумма определяется по формуле

где f– номинальная годовая учетная ставка; пт – общее количество интервалов начисления.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то наращенная сумма будет определяться по формуле

где тп – целое число интервалов начисления за весь период начисления; l – часть интервала начисления.

Источник: https://studme.org/

Если взять кредит в банке и открыть в том же банке вклад, смогут ли проценты по вкладу обеспечить ежемесячный платеж по кредиту?

Процент, который банк выплачивает клиенту за то, что получает от него сегодня деньги на депозит – это те деньги, которые вам платит банк за то, что может пользоваться вашими средствами в течение срока вклада. Банк понимает, что стоимость денег сегодня не равна стоимости денег завтра. Банк получил от вас в долг 10 тысяч рублей на год, он может этими деньгами распоряжаться в течение года, выдать на них кредиты другим людям, купить акции и многое другое. За то, что вы дали банку денег в долг, банк заплатит вам процент по депозиту.

И вы, принимая решение, давать ли деньги банку в долг, должны сравнить процентную ставку банка с годовой инфляцией в стране. Если вы ждете, что годовая инфляция составит, например, 7%, а банк готов выплатить вам 9% годовых, то для вас принятие решения о депозите осмысленно. Ведь если бы вы не вкладывали деньги в банк, вы бы в конце года имели не 10 тысяч рублей, а 9300 рублей. А если вы вложите деньги, то в конце года у вас будет 10900 рублей. Значит, банк должен так хорошо работать с вашими деньгами в течение года, чтобы отыграть инфляцию – 700 рублей, и заработать, чтобы выплатить вам процентную ставку – 900 рублей. То есть банк должен за год заработать в реальности, больше, чем 1600 рублей, чтобы вам заплатить вознаграждение за то, что вы доверили ему деньги. Но если он заработает только 1600 – он ничего не получит из этой операции для себя. Допустим, он хочет для себя заработать еще 3%. Тогда банк должен заработать хотя бы 20% годовых в реальности, чтобы для него вообще имело смысл открывать депозиты клиентам.

Кредит – обратная история. Теперь вы приходите в банк и просите его дать вам денег в долг, банк отдает вам, например, 10 тысяч рублей на год. Он теперь не сможет на них заработать, и считает, сколько денег вы должны вернуть ему в конце года, чтобы эта операция не была для него убыточной.

К 10 тысячам рублей прибавим ожидаемую инфляцию, например 7%.

Значит, процент по кредиту не может быть ниже инфляции. Вы вернете не меньше, чем 10700. Дальше вы должны вернуть банку недополученную прибыль от использования этих денег в течение года. Банк пользуется консервативными инструментами вложения денег и прибыль от использования ваших денег сопоставима для него с темпом роста экономики, если он ничего не делает, и превышает, если он эффективно работает. К сожалению, экономика России не растет, а падает на 2-4% в год. Банк не может сильно рисковать вашими деньгами, он заработает 6%, если банк молодец. И еще 3% от этой операции он бы хотел оставить себе, чтобы покрыть расходы на сотрудников, офисы и все остальное. И еще он бы хотел не быть убыточным бизнесом. Поэтому получается, что процент по кредиту = 7% (инфляция) + 6% (стоимость денег) + 3-5% (расходы на операцию) + 2-4% (доход банка) = не меньше 20%.

По нашим расчетам, мы использовали очень упрощенную модель работы банка, получается, что ставка по депозиту должна быть около 10% годовых, а ставка по кредиту должна быть около 20% годовых. Иначе банк будет работать в убыток. Так что нет, невозможно взять кредит и оплачивать проценты по нему из процентов по депозиту банка.

Однако, банковские инструменты и способы, которыми банки зарабатывают, сложнее, чем в описанной модели. Нам повезло, и в банковском бизнесе – очень высокая конкуренция. Банки стремятся выдать вам кредит и открыть вам депозит, поэтому стараются сделать проценты максимально выгодными. В нашем банке выгодный депозит дается под ставку 9.5%.

А самый дешевый кредит – 16.5%.

Никогда! Никогда так не делайте!

По случаю отзыва лицензии в банке (коих сейчас великое множество), денежных средств со вклада, застрахованных через АСВ до 1,4 млн вы не увидите до тех пор, пока не погасите кредит. А максимальный срок выплаты возможен в течении трех лет. Вот и подумайте… что выгоднее..

Источник: https://thequestion.ru/

Что такое тело кредита и тело депозита, в чем между ними разница?

Сегодня банки предлагают множество продуктов – кредиты, ипотеку, кредитные карты, вклады и другие. Отдавая предпочтение одному из них, прежде всего, стоит разобраться, что такое тело кредита, тело депозита. «Тело» — это основная часть денежных средств (в случае с кредитом — это занимаемая сумма, с депозитом — вкладываемая), в которую не входят проценты, штрафы, пени.

тело кредита, тело депозитаКаждый ежемесячный платеж обязательно включает в себя тело кредита и проценты. В некоторых случаях бывает такое, что впервые месяцы выплачиваются только проценты за месяц или его часть. Обязательно стоит поинтересоваться соотношением суммы процентов и основной суммы, погашаемой в ежемесячном платеже. Получив такие данные, заемщик сможет обрисовать себе ситуацию с переплатой при каждой выплате.

Также в случае досрочного или же частично-досрочного погашения кредита, заемщик должен понимать из какой части суммы (тела кредита или процентов) будет списан долг. Как правило, выплачиваемая сумма снимается с тела кредита, не учитывая процентов. В таком случае выходит, что заемщик расплачивается только за отрезок времени использования кредита.

Например, вы взяли 100 рублей — это тело кредита, на него начисляются проценты, допустим, 20 рублей за два года. Ежемесячное погашение при этом, как правило исчисляется так. Сначала из оплачиваемых ежемесячных сумм платятся все проценты за два года (ну или иной срок кредита) и только потом само тело кредита. Если банк предусматривает в условиях кредитования, что тело кредита гасится вместе с процентами, то ежемесячно вы оплачиваете и часть тела и часть процентов. В случае досрочного погашения тела кредита проценты, как правило, подлежат пересчету или уменьшению. Я считаю, что такой кредит можно брать.

Подводя итог, хочу подчеркнуть, если у вас возникли сомнения по поводу расчета тела кредита, тела депозита, лучше свяжитесь с отделом расчетов и выясните величину выплат по кредиту или депозиту на сегодня.

Источник: http://nebankir.ru/

В чём разница между депозитом и кредитом? В принципе рассчёта процентной ставки!

Вот тут график, показывающий, как изменяется сумма процентов на базовую сумму в 1000 долларов по простым и сложным процентам. Сложный процент, это процент, на процент.Отсюда: Сложный процент и долговой пузырь [3]

«Сложный процент это восьмое чудо света. Те, кто понимают его – на нем зарабатывают, кто нет – оплачивают», Альберт Эйнштейн”.

Тоесть, что происходит? если вам за депозит (деньги положенные в банк вами) дают 10%, то это простой процент.

А если с вас  в этом же банке берут за кредит якобы те же 10% то это уже сложный процент. Тоесть, процент на не выплаченный процент. Об этом вам банковскик служащие не считают нужным уточнить. По графику видно разницу.

Простой процент рассчитывается по следующей формуле: I*P*V/100

I в данном случае является суммой инвестированных денежных средств;
P – процентом прибыли;
V – период времени, на который вложены денежные средства.

Сложный процент применяется там, где необходимо учесть рефинансирование полученной прибыли. В основе расчёта сложного процента – идея о том, что существует заданный промежуток времени, в конце которого проценты начисляются не только на базовую (первоначальную) сумму, но и на полученные в конце периода проценты на эту сумму.

Для расчёта сложного процента большую роль играет интервал, по истечении которого прибыль в виде процента прибавляется к основной сумме. Данный интервал может иметь различную продолжительность, которая, установлена единожды и не может быть впоследствии изменена. Таким образом, интервал является циклическим, что отражает процесс рефинансирования.

Сложный процент рассчитывается по формуле:

SUM = X * (1 + %)n

где
SUM — конечная сумма;
X — начальная сумма;
% — процентная ставка, процентов годовых /100;
n — количество периодов, лет (месяцев, кварталов).

 

Подведём итог.


Простой процент начисляется в размере процентной ставки на базовую (первоначальную) сумму, а прибыль изымается сразу же по получению. Сложный процент предполагает реинвестирование, когда прибыль, получаемая через определённые интервалы, не изымается, а добавляется к базовой сумме и на неё в дальнейшем также начисляется процент. Прибыль, получаемая по схеме сложного процента выше прибыли получаемой по схеме простого процента, если конечно интервал между датами получения прибыли (для сложного процента) не равен периоду вложения денежных средств.

Имейте ввиду, что инвестируете не вы, а ваш кредитор. Поэтому занять деньги в банке и положить их в другой банк даже на больший процент с целью получения прибыли приведёт вас к разорению.

Источник: http://bulochnikov.livejournal.com/

Leave a Reply

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *